Gedämpfte elektromagnetische Schwingung

Etwas Theorie

Ein Stromkreis aus Kondensator und Spule heißt elektromagnetischer Schwingkreis. In diesem Schwingkreis findet eine periodische Energieumwandlung zwischen elektrischer Energie und magnetischer Energie statt, vergleichbar der Umwandlung zwischen kinetischer Energie und Lageenergie beim mechanischen Federpendel. Bei einer ungedämpften Schwingung (R = 0Ω) verlaufen diese Umwandlungen verlustfrei ab. Im Normalfall besitzen die Spule und die Zuleitungen jedoch einen gewissen ohmschen Widerstand, welcher der Schwingung dauernd Energie entzieht: die Schwingung wird gedämpft.

Mathematische Betrachtung

Die Spannungen an Spule, Wirkwiderstand und Kondensator addieren sich unter Beachtung der unterschiedlichen Polungen gerade zu null, so daß wir folgende Ausgangsgleichung erhalten:

Ausgangsgleichung

Für die Spannungen gelten die bekannten Beziehungen:

Spannung Spule
Spannung Widerstand
Spannung Kondensator

Durch Einsetzen erhalten wir:

Vorstufe DGL

Nach Division durch L haben wir die bekannte Differentialgleichung der elektromagnetischen Schwingung vollends hergeleitet:

Differentialgleichung

Sie besitzt eine Lösung der Form:

Lösung

Aus den Anfangsbedingungen können wir die Lösungsparameter wie folgt bestimmen:

Abklingkoeffizient
Eigenkreisfrequenz
Phasenverschiebung